等价鞅测度定理（无套定理和鞅等价等）
统计与决策 自20世纪90年代以来，数学分析工具已广泛应用于金融分析领域！ 其中最著名的无疑是定理“&'$(，以及无集定理和鞅等价定理。鞅等价定理仍然是金融分析中的一个前沿话题，还有！等价鞅测度定理仍然是人们分析金融产品定价、消除金融投机和套利机会、降低金融产品投资风险的主要工具。等价鞅测度定理在金融市场分析的许多领域都有应用。等价鞅测度定理的分析及其应用，无疑对掌握金融产品定价方法、“优化金融产品投资组合”、降低金融产品投资风险$1！ /-23+!-0"!3###&3' 称为上鞅！ 例如&3'替换为$1)/-23+!-0"!3!###!显然!/0)/ 现在！我们在现有框架下考虑股票价格的多元二维点阵建模$ ! 过程 29) 3%8 通过以下方程更精确地确定#5！ 根据方程 !03# 中的约定，可以引入离散信息流模型的自然过滤因子。由股票价格观察产生的任何定义！因此，折扣股票价格对于其自身的过滤因子来说是一个公平的游戏！此外，这个假设不会丢失。普遍性且不难证明，在任何C和EE模型中都不存在贴现股票价格%分布，因此可以发现在不丧失普遍性的情况下，采用如下鞅测度的定义。概率测度可以称为贴现股票价格过程的鞅测度。 如果以下方程变为以下方程，则它遵循鞅分布。 在这种情况下，我们可以断言股票折扣价格+%鞅分配！ 或者简单地说！ (%鞅分布！如果在某些情况下不会产生歧义$！可以假设股票价格处于隐式过滤的概率空间中)%!=!(+严格大于股票价格过程产生的自然因素但是！在本节中！为了方便起见！正如上面的定义所明确的那样，当且仅当 9H32D0DH7$ 时，存在 5 种因子 $ 证明！和&A'方程！我们可以用以下方式重建方程&G')或等价！D@%);23+;23是相对于独立性的！ 那么后一个方程成立的充要条件；23'0D 或者 显然！ 方程 7C29)3%C+0D 必须满足 $ 求解最终方程 这一特征说明了为什么人们可以将注意力限制在隐式圆锥空间中的特殊类型的概率测度而不失一般性。 需要指出的是，为了对实际观察到的股票价格波动进行建模，鞅概率测度并不是外生的。 相反，它应该被视为衍生证券套利估值中非常有用的技术工具。 鞅测度和或风险中性概率概念的评估本质上取决于基础资产的选择 $ 可以确认相对股票价格 797% 9 等价鞅测度及其属性 等价鞅测度） 具体来说！ 如果有安全价格5); + 是一个连续的随机过程！ 其样本概率分布记为(%。我们称之为等价鞅测度！使得(计算出的未来期望恰好等于当前价格)在已知条件下为5&;'01，(计算出的条件期望算子$考虑普通证券！其价格变化遵循几何维纳过程)5);+05其中 O);+ 服从正态分布)O);+#Q)(;&注意，这种表示方式与前一种表示方式不同。事实上，“!#”满足的平方使用伊藤引理，满足的随机微分方程是为了后续的求导，我们先计算下面的矩生成函数，例如 容易验证。
:/73%!#;。 ::/73%"现在我们使用./#3来计算证券价格的条件期望%。假设=##的定义为(8#3#得到实际的概率分布!!"公式#我们将定义为正态分布？ 8%#;"#3#待定%使用!*+"公式#为$5 A(83,%(8#326+5A选择%%A5。在上述结构下，#25A(8#3成为概率分布的鞅，同时根据公式的推导进行建模，是一个标准的维纳，过程#与!**"公式中的不同后者的概率分布为$#，!*D"公式等价于!*C"公式，它们的直观解释是，在测算下，每种风险资产的预期收益率等于收益。通过属性！ $ 找到它的期望值#，然后用无风险利率# 进行折算，这是其当前定价。 这是一个简化的表达。 # 只要问我们就知道 # 欧式看涨期权是 到期日的值为E!"%FGHI(!"5J#7K来自之前的推导#有2HLI5)"8058A5"来自等价鞅属性#当前看涨期权的价格为其到期日的预期值$54"2HL85A #0FGHI(805J#7K$$因为(80&J相当于"!"&*9!J6 将!*M"代入上式#进一步简写"!" as 2HLI5)"58A5"5AK$"5J25A2HLI5)"58A5"可以验证前后两个积分正好0%等价于Black 5 Scholes公式中的鞅测度概念，这可以很好地解释为什么Black 5 Scholes公式不包含标的股票的预期收益和投资者的风险。在金融市场部分均衡状态下，等值鞅测度下每只股票的预期收益正是无风险收益，因此，无论是否。投资者是风险厌恶者还是风险爱好者，通过使用等价鞅测度，他们都会遵循相同的无风险收益率来衡量标的资产的收益。 等价鞅测度的应用。 等价鞅测度的性质非常好，可以广泛应用于金融市场定价。 国内研究主要将等值鞅测度应用于外汇市场定价。 !田荣'柴军+777"'可转债定价!王子坤+777"'资产组合最优定价分析!魏正红'张曙光+77B"等(当然是#等价鞅测度的最基本应用应该在当前市场和期货市场中的应用 现货市场鞅措施 虽然我们注意到主观概率在期权定价中不起作用，但概率手段在状态相关的估值中仍然发挥着很大的作用，它们取决于使用。鞅的概念，也就是说，直观地说，使用公平博弈的概率模型% 为了应用衍生证券的鞅法，首先必须找到一个等于#的值，这样折扣还是非的！贴现股票价格过程3成立 对于贴现股票价格过程 #这样的概率测度称为鞅测度% 在两期模型中 #很容易推导出一个概率测度，假设它存在“由下面的线性方程 $/+7" 现在让我们考虑下一个期权折扣的最终支付期望值 5 是 LO//*&A33%1LO//*&A35A 评估$ 考虑价格过程鞅分布#然后是折扣股票价格过程可以被视为风险中性经济中的公平博弈模型#即随机经济系统中的期货股票 价格变动的概率由鞅测度决定。 然而，应该强调的是，套利定价的基本思想完全基于资产组合的存在，该资产组合可以完美地对冲与风险证券的不确定期货价格相关的风险。 因此，这个模型的概率性质没有本质意义。 特别是，人们实际上并不认为现实世界经济是风险中性的。 相反，风险中性经济体系应该被视为一种技术工具。 引入鞅措施的目的有两个。 $第一
