等价鞅测度和鞅定价方法衍生品改变期望值概率分布通常有两个主要特征：位置和形状。 改变期望值就是改变位置； 改变方差是改变形状的一种方法。 在本章中，我们尝试在不改变分布形状的情况下改变位置（即期望值）。 改变期望值一般可以通过向随机变量添加一个常数来改变其期望值来完成。 这种方法在统计和计量中很常见，但在金融资产定价中，我们希望实现的是从风险溢价中降低资产的预期回报，以避免风险溢价的估计并简化预期值的计算。 显然我们不知道预期风险溢价是多少，所以我们不能使用这种方法。 更改概率度量会更改预期值，但不会更改方差。 在概率测度下，随机变量的分布为 要将其期望值调整为 ，我们使用概率测度。 显然，概率测度应满足以下三个条件：新概率之和等于； 概率测度的期望值为； 方差仍然是98122429102239，随机变量的值没有改变，改变的是它对应的概率。 为了降低期望值，需要降低较大值的概率，并且需要提高较小值的概率。 在概率测度下，随机变量服从正态分布。 如果要将其期望值调整为 ，定义随机变量乘以 ，就可以得到期望值和方差的正态分布。 如果要将其期望值调整为 ，请将随机变量定义为服从正态分布，期望值为 ，方差为 。 在概率测度下，如果要将一个随机向量的期望值调整为，定义随机变量乘以，可以得到，上述方法显然可以推广到多维连续随机向量的情况。

导数 我们将 中的随机变量称为 的导数。 在离散分布下，我们有 事实上，通过导数（满足一定的性质），我们不仅可以从概率测度进行变换，还可以从概率测度变换到 导数在什么情况下存在？ 换句话说，什么情况下我们可以对概率测度进行上述变换？ 由于我们希望能够通过导数在两个度量之间自由转换，因此从数学上讲，两者都应该为零。 但由于分子和分母都是概率，因此： 当概率测度关于哪些集合 具有 0 概率时，导数存在，并且我们可以在两个测度之间自由转换： 当对于哪些集合 具有 0 概率是一致时概率 ，我们称它们为等效测度：对于等效测度，当我们说一个事件几乎肯定会发生时，我们不需要指定它是在哪个测度下建立的。 ：在一种测度下构建的无风险投资组合也必须是其等效测度下的无风险投资组合，因为两个等效测度对于概率事件是一致的。 几乎可以肯定它是非负的。 如上所述，如果它是一个几乎肯定是非负的随机变量并且满足概率度量。 证明：其正则性可以证明。 为了证明其可数性和可加性，令 limlimlim 为域流。 随机变量几乎肯定是正的并且满足可测量的随机变量。 验证概率测度下导数过程的性质，就是验证定理定理（一维情况），在概率测度下，该过程是布朗运动。 证明：首先，由于广义几何布朗运动之后的随机过程是等价测度。

其次，讨论定理条件。 可以看出，方差是有界的，平方是可积鞅。 最后验证的过程就是布朗运动。 如果一个过程的初始值为 ，具有连续路径，其在时间上的二次变化为 ，并且具有鞅性质，则该过程是布朗运动。 连续的; 显而易见：等效措施意味着“哪些情况可能发生”是一致的。 例如，在二叉树模型中，真实概率测度和风险中性概率测度都基于同一棵树； 在蒙特卡罗模拟中，可能的路径是一致的。 唯一的区别是发生的概率。 它是什么？ 定理（多维情况）是一个维度适应过程。 在定义给出的概率测度下，过程的组成过程在概率测度下是独立的，但它们在概率测度下也可能不独立。 因为在概率测度下，虽然等价鞅测度与鞅定价法之间计量转换的基本定理假设两种资产在风险中性测度下遵循以下过程：作为计量单位的资产的价格为该度量下的鞅过程，即表示该度量下的条件期望。 概率测度定义为： 也就是说，该测度下的市场风险价格是资产风险中性测度下的资产定价。 假设采用货币市场账户过程的波动率。 因此，就货币市场账户而言，风险价格的衡量标准正是我们前面介绍的风险中性衡量标准。 根据等式，我们得出的一般结论是，这是一个风险中性的测度：在该测度下，资产价格的贴现服从鞅过程。 公式就是一个典型的例子。 如果远期计量下的资产定价采用当时到期的零息债券价格作为计量单位，则相应的计量通常称为远期计量。 远期衡量标准是我们在利率产品定价时最常用的衡量标准。在远期衡量标准下，根据零息债券的性质和到期价值，我们有